如图（a）所示直角三角板ABC的边长BC=a，AC=b，开始时AB边靠在y轴上，B与坐标原点O重合．今使A点沿y轴负方向朝O点移动，B点沿x轴正方向移动，可知三角板从图（a）所示的初始位置到图（b）

Question

如图（a）所示直角三角板ABC的边长BC=a，AC=b，开始时AB边靠在y轴上，B与坐标原点O重合．今使A点沿y轴负方向朝O点移动，B点沿x轴正方向移动，可知三角板从图（a）所示的初始位置到图（b）所示终止位置的过程中，C点的运动轨迹为______（选填：“单方向的直线”、“往返的直线”、“一段圆弧”或“非圆弧状的其他曲线”），C点在此过程中通过的路程为______．

Answer 1

（1）用平面几何推证C点的轨迹如图2所示，因∠ACB+∠AOB=90°+90°=180°，所以四边形AOBC始终为圆内接四边形．在图中画出四边形AOBC的外接圆，易知AB的中点为其圆心、AB为其直径．连接OC，可得∠COB=∠CAB=定值，说明在B点沿x轴正方向移动时，C点的运动轨迹应该为一条直线．在B点从O点运动到CB与x轴垂直的过程中，OC的长度将逐渐变大．在CB与x轴垂直时，O C刚好变为圆的直径，其长度将达到最大值槡a2+b2．在B点从垂直位置继续沿x轴正方向移动时，O C的长度将逐渐变小，由此可判断C点的运动轨迹为往返的直线．
（2）如图2运动轨迹：C---C'----C''，
C--C'，C点运动的路程：s₁1=

2

a2+b2

-a；
c‘--c''，C点运动的路程：s₂=

2

a2+b2

-b；
C点在此过程中通过的路程：s=s₁+s₂=

2

a2+b2

-a+

2

a2+b2

-b=2

2

a2+b2

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-a；
c‘--c''，C点运动的路程：s₂2=

2

a2+b2

-b；
C点在此过程中通过的路程：s=s₁+s₂=

2

a2+b2

-a+

2

a2+b2

-b=2

2

a2+b2

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-b；
C点在此过程中通过的路程：s=s₁1+s₂2=

2

a2+b2

-a+

2

a2+b2

-b=2

2

a2+b2

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-a+

2

a2+b2

-b=2

2

a2+b2

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-b=2

2

a2+b2

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-a-b．
  
故答案为：往返的直线；2

2

a2+b2

-a-b．

2

a2+b2

2a2+b222a2+b2a2+b22+b22

-a-b．