f(X,Y)=0关于AX+BY+C=0对称的曲线是f(-BY/A-C/A,-AX/B-C/B)?,对么,怎么证明?

Question

f(X,Y)=0关于AX+BY+C=0对称的曲线是f(-BY/A-C/A,-AX/B-C/B)?,对么 ,怎么证明?

Answer 1

设E﹙x,y﹚∈f(X,Y)=0,F﹙a,b﹚是E﹙x.y﹚关于AX+BY+C=0的对称点.
①EF⊥AX+BY+C=0,﹙y-b﹚A+﹙a-x﹚B＝0
②E.F到AX+BY+C=0,的距离相等 Ax+By+C＝-﹙Aa+Bb+C﹚
解出x,y,得到 x＝[a﹙A²-B²﹚+2A﹙bB+C﹚]/﹙A²+B²﹚
y＝[b﹙A²-B²﹚-2B﹙aA+C﹚]/﹙A²+B²﹚
f(X,Y)=0关于AX+BY+C=0对称的曲线是
f([x﹙A²-B²﹚+2A﹙yB+C﹚]/﹙A²+B²﹚,[y﹙A²-B²﹚-2B﹙xA+C﹚]/﹙A²+B²﹚﹚