三棱锥ABCD中EG分别是BC,AB中点,F在CD上.DF:FC=DH:HA=2:3三棱锥ABCD中E,G分别是BC,AB中点,F在CD上.DF:FC=DH:HA=2:3.判定直线EF,GH,BD位置关系并证明H在AD上

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三棱锥ABCD中EG分别是BC,AB中点,F在CD上.DF:FC=DH:HA=2:3
三棱锥ABCD中E,G分别是BC,AB中点,F在CD上.DF:FC=DH:HA=2:3.判定直线EF,GH,BD位置关系并证明
H在AD上

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答案和解析

如果ABCD是正四面体,则EF,GH,BD,交与一点.
延长GH交BD与I,延长EF叫BD与I’,则可以将平面ABD和平面BCD展开分开考虑,两平面有一个交线BD,如果三角形和BAD和三角形BCD全等,也就是ABCD是正三棱锥,则平面ABD和平面BCD是完全对称的,则EF,GH,比交BD与同一点I.
若不是正四面体,同样将平面ABD和平面BCD展开分开考虑,在平面BAD中,以
B点为原点,BD为x轴建立坐标系,令A点坐标为(x1,y1),D点坐标为（x2,0),则
G,H点坐标分别为（x1/2,y1/2),(2/5x1+3/5x2,2/5y1),可以算出I点坐标为
(3/2x2,0),也就是说I点的位置只决定与x2的值（也就是D点的位置）,而在另一个平面BCD,也有相同的情况,而且有相同的D点,也就是说I‘和I点都有在BD延长线上离B点3/2|BD|处,
证毕

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