基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题a,b均为整数,且有ab-a-b=1求a+b最小值我的解法:依题意:ab=a+b+1a+b≥2√ab=2√(a+b+1)

Question

基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值
求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
a,b均为整数,且有ab-a-b=1 求a+b最小值
我的解法
:依题意:ab=a+b+1
a+b≥2√ab=2√(a+b+1)
当且仅当a=b是等号成立
故令t=a+b,则有
t≥2√(t+1)
得t^2≥4t+4
解得t≤2-2√2 或t≥2+2√2
∵t=a+b＞0
∴t≥2+2√2
当且仅当a=b=1+√2是等号成立
我去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值不等式?什么时候可以在两端都不是定值的时候用均值不等式?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了

Answer 1

呵呵,这是个好问题!不过楼上的一些解答说得似乎太复杂了,很多又是答非所问……
其实从本质上说,对于一个不等式问题,可以随便用任何一个成立的不等式,连着用多次也没关系,只要保证不等号的方向总是对的就行.但是最值问题比不等式问题要求更强,它要求等号能够成立.所以用不等式解决最值问题时就两步(以求X的最小值为例)：1. 用不等式放缩,得到X≥a（注意,a是个已知的值,不能还是个函数,这就是“一方为定值“的含义,但个人认为这么说容易引起误解）.2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干不等式联合得到的,比如X≥Y≥Z≥a,这时为说明X=a可以成立,只要说明上面的每个不等式都能成立"="就行）.只要这两点都做到了,那方法一定是对的.下面用这个标准来看看你举的例子.
先看你问题中的这个例子.首先放缩得到t≥2+根号2,这肯定没问题.其次,你这里面用了两步放缩,第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时,两个不等式都成立等号.所以这个做法没有任何问题.
再看你在二楼追问的那个问题,错在我上面说的1.不满足.这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一个固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错,但右边不是定值,通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）.后面的推理也是没有道理的,就好比通过甲>乙,丙=丁,然后推出甲>丁一样荒谬.关键在于4√x不是定值,x不同时,4√x可以是上面的乙,也可以是上面的丁,用它作媒介推不出来甲和丙的大小.
总之,”一方为定值“这个说法有一定道理,不过容易引起误解.实际上放缩的过程可能是由多个不等式联合得到的,并不需要每一个不等式都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步,两边都不是定值）,但一定要求最后得到一个定值作为下界.我建议楼主用我上面说的1,2来理解,也包括那里括号中的内容.
P.S,"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的.边边角情况下,如果那个角是钝角则的确可以判定全等.我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些.不过我觉得他说的有些绝对,"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理,关键是要理解这句话的实质,而不仅仅是字面意思.很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的.如果楼主理解了我上面说的两条,这种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)