如图所示，四边形ABCD是正方形，AC、BD交于点O，AE平分∠BAC，DF垂直AE，交AB于点F，交AE于点H，交AC于点G．求证：（1）OG=12BF；（2）AE=DF．

Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，AC、BD交于点O，AE平分∠BAC，DF垂直AE，交AB于点F，交AE于点H，交AC于点G．求证：

（1）OG=(1)/(2)BF；
（2）AE=DF．

Answer 1

（1）如图，

过点B作BP⊥BD交DF的延长线与点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD
∴PB∥AC，
∴DG=PG
∴OG=(1)/(2)PB
∵AE平分∠BAC，∠BAC=45，DF⊥AE
∴∠HAG=∠HAF=∠GDO=22.5°
∴∠AFH=∠AGH=∠P=67.5°
∴∠PFB=∠AFH=∠P=67.5°
∴PB=BF
∴OG=(1)/(2)BF．
（2）∵∠AEB=90°-∠EAB=67.5°，
∴∠AFD=∠AEB，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE＝∠DAF

∠AEB＝∠AFD

AB＝AD

∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF．