如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）2+2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l

Question

如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1） ² +k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h） ² +2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
①交点C的纵坐标可以表示为：______或______，由此进一步探究m关于h的函数关系式；
②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer 1

（1）当x=0时候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y=（x-1） ² +k，得1+k=2
∴k=1，
∴y=（x-1） ² +1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴当x=h时，y=-x+2=-h+2=2-h
∴点D在直线l上；

（2）①（m-1） ² +1或（m-h） ² -h+2
由题意得（m-1） ² +1=（m-h） ² -h+2，
整理得2mh-2m=h ² -h
∵h＞1
∴m= (h2 -h)/(2h-2) = (h)/(2) ．
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE ∽ △CDF
∴ (AE)/(EC) =(CF)/(DF)
又∵C（m，m ² -2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m ² -2m，DF=m ² ，CE=CF=m
∴ (m2 -2m)/(m) = (m)/(m2)
∴m ² -2m=1
解得：m=±

2

+1
∵h＞1
∴m= (h)/(2) ＞ (1)/(2)
∴m=

2

+1