在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．（1）求角B的取值范围；（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（π4+B2）sin（π4−B2）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（(π)/(4)+(B)/(2)）sin（(π)/(4)−(B)/(2)）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵b²=ac
cosB=(a2+c2−b2)/(2ac)≥(2ac−ac)/(2ac)=(1)/(2)
当且仅当a=b=c时，cosB=(1)/(2)
∴B∈（0，(π)/(3)]
（2）cos2B-4sin（(π)/(4)+(B)/(2)）cos（(π)/(4)−(B)/(2)）+m
=cos2B-4sin（(π)/(4)+(B)/(2)）sin（(π)/(4)+(B)/(2)）+m
=cos2B-2[1-cos（(π)/(2)+B）]+m
=2cos²B-2sinB+m-3
=2（cosB-(1)/(2)）²+m-(7)/(2)
(1)/(2)≤cosB＜1
∴2（cosB-(1)/(2)）²+m-(7)/(2)∈[m-(7)/(2)，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（(π)/(4)+(B)/(2)）sin（(π)/(4)−(B)/(2)）+m＞0恒成立．
∴m-(7)/(2)＞0，m＞(7)/(2)
故m的取值范围是（(7)/(2)，+∞）