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如何用柯西中值定理证明拉格朗日中值定理
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用罗尔中值定理证明最简单,不过你要用柯西中值定理证明也是可以的.
取F(x)=x,所以ψ(x)=f(x)-f(a)-{【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】}*【F(x)-F(a)】和F(x)=x在区间[a,b]内满足罗尔中值定理的条件,应用罗尔中值定理有:存在ξ∈(a,b),使等式ψ‘(ξ)=0,即
【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f’(ξ)/F'(ξ)(柯西中值定理),
又F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=1,带入上式化简集合得到拉格朗日中值定理.
就是构造ψ(x)麻烦,如果可以直接用柯西中值定理就简单了,直接令F(x)=x带入柯西中值定理就可以了.
希望对你有所帮助
取F(x)=x,所以ψ(x)=f(x)-f(a)-{【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】}*【F(x)-F(a)】和F(x)=x在区间[a,b]内满足罗尔中值定理的条件,应用罗尔中值定理有:存在ξ∈(a,b),使等式ψ‘(ξ)=0,即
【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f’(ξ)/F'(ξ)(柯西中值定理),
又F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=1,带入上式化简集合得到拉格朗日中值定理.
就是构造ψ(x)麻烦,如果可以直接用柯西中值定理就简单了,直接令F(x)=x带入柯西中值定理就可以了.
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