在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为BC的中点，DE⊥BC交边AC与点E，点P为射线AB上一动点，点Q为AC上一动点，且∠PDQ=90°．若BP=2，求CQ的长．

Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为BC的中点，DE⊥BC交边AC与点E，点P为射线AB上一动点，点Q为AC上一动点，且∠PDQ=90°．若BP=2，求CQ的长．

Answer 1

∵DE⊥BC，∠A=90°，
∴∠CDE=∠A=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴(CD)/(AC)=(DE)/(AB)=(CE)/(CB)，
∴DE=(15)/(4)，CE=(25)/(4)；
当点P在线段AB上时，可证△DBP∽△DEQ，
∴(BP)/(EQ)=(DB)/(DE)，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=CE-EQ=(19)/(4)；
当点P在线段AB的延长线上时，△DBP∽△DEQ，
∴(BP)/(EQ)=(DB)/(DE)，
∴EQ=(3)/(2)，
∴CQ=CE+EQ=(31)/(4)．