如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．（2）如图（2），

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．
（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．
（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD的度数．
（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．
（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

（1）如图，∵CD⊥CA，
∴∠ACO+∠DCB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠DCB=∠OAC，
又∵∠CBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CAO+∠CDB=90°；

（2）如图2，延长AP交MN于点E，

∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，
∴∠1=(1)/(2)∠CAO、∠2=(1)/(2)∠CDB，
∵∠CAO+∠CDB=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵MN∥OA，
∴∠1=∠3，
∴∠APD=∠2+∠3=∠1+∠3=45°；

（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，
∴∠PAC=(1)/(2)∠OAC、∠QAC=(1)/(2)∠CAx，
∵∠OAC+∠CAx=180°，
∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=(1)/(2)（∠OAC+∠CAx）=90°，
同理得∠PDQ=90°，
∴∠APD+∠AQD=360°-（∠PAQ+∠PDQ）=180°；

（4）∠APD的大小不变，为45°；

设∠CAQ=2α，∠CQA=2β，
∵∠ACD=90°，
∴∠CAQ+∠CQA=90°，即2α+2β=90，α+β=45，
∵AO∥MN，
∴∠CQA=∠CDB=2β，
∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，
∴∠QDP=(1)/(2)∠CDB=β，∠CAQ=(1)/(2)∠CAQ=α，
则∠CQA=90°-∠CAQ=90°-α，
∴∠APD=∠CQA-∠CDB=90°-α-β=45°．