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设z=f（u）可微，而u=u（x，y）是由方程u=φ（u）+∫xyp（t）dt确定的函数，其中p（t），φ′（u）连续且φ′（u）≠1，求p（x）∂z∂x+p（y）∂z∂y．

题目详情
设z=f（u）可微，而u=u（x，y）是由方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt确定的函数，其中p（t），φ′（u）连续且φ′（u）≠1，求p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
．设z=f（u）可微，而u=u（x，y）是由方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt确定的函数，其中p（t），φ′（u）连续且φ′（u）≠1，求p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
．
∫
x
y
p（t）dt确定的函数，其中p（t），φ′（u）连续且φ′（u）≠1，求p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
．
∫
x
y
∫
x
y
∫
x
y
∫
x
y
x
y
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
．
∂z
∂x
∂z∂x∂z∂z∂x∂x
∂z
∂y
．
∂z
∂y
∂z∂y∂z∂z∂y∂y
▼优质解答
答案和解析
由题意，
∂z
∂x
=f′(u)•
∂u
∂x
，
∂z
∂y
=f′(u)•
∂u
∂x

而方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂z
∂x
∂z∂x∂z∂z∂z∂x∂x∂x=f′(u)•
∂u
∂x
，
∂z
∂y
=f′(u)•
∂u
∂x

而方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
f′(u)•
∂u
∂x
∂u∂x∂u∂u∂u∂x∂x∂x，
∂z
∂y
=f′(u)•
∂u
∂x

而方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂z
∂y
∂z∂y∂z∂z∂z∂y∂y∂y=f′(u)•
∂u
∂x

而方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
f′(u)•
∂u
∂x
∂u∂x∂u∂u∂u∂x∂x∂x
而方程u=φ（u）+
∫
x
y
p（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∫
x
y
∫
x
y
∫
x
y
∫∫
x
y
x
x
y
yp（t）dt两端对x和y求偏导，得
∂u
∂x
=φ′(u)
∂u
∂x
+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂u
∂x
∂u∂x∂u∂u∂u∂x∂x∂x=φ′(u)
∂u
∂x
∂u∂x∂u∂u∂u∂x∂x∂x+p(x)，
∂u
∂y
=φ′(u)
∂u
∂y
-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂u
∂y
∂u∂y∂u∂u∂u∂y∂y∂y=φ′(u)
∂u
∂y
∂u∂y∂u∂u∂u∂y∂y∂y-p(y)
∴
∂u
∂x
=
p(x)
1-φ′(u)
，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂u
∂x
∂u∂x∂u∂u∂u∂x∂x∂x=
p(x)
1-φ′(u)
p(x)1-φ′(u)p(x)p(x)p(x)1-φ′(u)1-φ′(u)1-φ′(u)，
∂u
∂y
=-
p(y)
1-φ′(u)

∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂u
∂y
∂u∂y∂u∂u∂u∂y∂y∂y=-
p(y)
1-φ′(u)
p(y)1-φ′(u)p(y)p(y)p(y)1-φ′(u)1-φ′(u)1-φ′(u)
∴p（x）
∂z
∂x
+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂z
∂x
∂z∂x∂z∂z∂z∂x∂x∂x+p（y）
∂z
∂y
=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
∂z
∂y
∂z∂y∂z∂z∂z∂y∂y∂y=f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
f′(u)
p2(x)-p2(y)
1-φ′(u)
p2(x)-p2(y)1-φ′(u)p2(x)-p2(y)p2(x)-p2(y)p2(x)-p2(y)2(x)-p2(y)2(y)1-φ′(u)1-φ′(u)1-φ′(u)
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