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已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3.求f(x)的解析式.
题目详情
已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3.求f(x)的解析式.
▼优质解答
答案和解析
因为f(x)为奇函数,所以f(0)=-f(0),f(0)=0,
当x∈[0,3]时,设f(x)=kx+b,则b=0.
当x∈[3,6]时,由题设,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可设f(x)=-a(x-5)2+3.
因为f(6)=2,所以-a+3=2,所以a=1.
所以x∈[3,6]时f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22,
所以f(3)=-1,所以3k=-1,所以k=−
.
∴当x∈[0,3]时,f(x)=−
x
∵f(x)为奇函数
∴x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=−
x,
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
所以f(x)=
当x∈[0,3]时,设f(x)=kx+b,则b=0.
当x∈[3,6]时,由题设,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可设f(x)=-a(x-5)2+3.
因为f(6)=2,所以-a+3=2,所以a=1.
所以x∈[3,6]时f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22,
所以f(3)=-1,所以3k=-1,所以k=−
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∴当x∈[0,3]时,f(x)=−
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∵f(x)为奇函数
∴x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=−
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当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
所以f(x)=
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