求函数Y=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2a>0的最小值注e=2.718可能要用到x+y≥2√(xy)等公式

Question

求函数Y=(e^x -a)^2+(e^-x -a)^2 a>0的最小值
注 e=2.718 可能要用到x+y≥2√(xy) 等公式

Answer 1

先换个元:令e^x=t 则t>0
y=(t-a)^2+(1/t-a)^2=t^2+1/t^2-2a(t+1/t)+2a^2
注意到t^2+1/t^2=(t+1/t)^2-2
y=(t+1/t)^2-2a(t+1/t)+2a^2-2
再次换元:令u=t+1/t>=2√(t*1/t)=2
y=f(u)=u^2-2au+2a^2-2=(u-a)^2+a^2-2 u>=2
当a>=2
y最小值为f(a)=a^2-2
当a