已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=12n2+112n；数列{bn}满足：b3=11，bn+2=2bn+1-bn，其前9项和为153．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{cn}的前n项和，cn=6(2an−11)(2bn−1)，求Tn．

Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=(1)/(2)n2+(11)/(2)n；数列{b_n}满足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{c_n}的前n项和，c_n=(6)/((2an−11)(2bn−1))，求T_n．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}的前n项和，S_n=(1)/(2)n2+(11)/(2)n．
∴当n=1时，a₁=S₁=(1)/(2)+(11)/(2)=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(1)/(2)n2+(11)/(2)n-[(1)/(2)(n−1)2+(11)/(2)(n−1)]=n+5．
当n=1时，上式成立，
∴a_n=n+5．
∵b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，
∴数列{b_n}是等差数列，设公差为d．
∵前9项和为153，
∴153=9b₁+(9×8)/(2)d，b₃=b₁+2d=11．解得b₁=5，d=3．
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）c_n=(6)/((2an−11)(2bn−1))=(6)/((2n+10−11)(6n+4−1))=(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)，
∴T_n=(1−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(5))+…+((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))
=1−(1)/(2n+1)
=(2n)/(2n+1)．