已知函数f(x)满足:f(1)=0,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2014)=

Question

已知函数f(x)满足:f(1)=0,f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2014)=

Answer 1

解由f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令y=1
则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=0
即f（x+1）=-f（x-1）
用x+1代替x代入上式
即f（x+2)=-f(x).(*)
由（*）知
f(x+4)=f(x+2+2)
=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
即f（x+4）=f（x）
即f（2014）=f（503×4+2）=f（2）
在f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令x=1,y=0得
f（1）f（0）=f（1）+f（0）
即f（0）=0
再令x=y=1
即f（1）f（1）=f（2）+f（0）
即f（2）=0
即f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0