求椭圆x^/9+y^/16=1上的点到直线L:x+y-7=0的最短及最长距离如题.请写出解题步骤.

Question

求椭圆x^/9 +y^/16=1上的点到直线L:x+y-7=0的最短及最长距离
如题.请写出解题步骤.

Answer 1

方法一：三角换元
令x=3cosθ,y=4sinθ
点到直线的距离
d=｜x+y-7｜/√2
=｜3cosθ+4sinθ-7｜/√2
=｜5sin(θ+φ)-7｜/√2 (φ=arcsin3/5)
所以√2≤d≤6√2
方法二：柯西不等式
（x^2/9+y^2/16)(9+16)≥(x+y)^2
所以-5≤x+y≤5
所以√2≤d≤6√2
用柯西不等式更简单,但用三角换元更有一般性.如果那个椭圆不是完整的,而是一段,那就用三角换元比较好了（注意θ的范围）,因为用柯西不等式有可能做不出.