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已知数列{an}各项均为正数,Sn是它的前n项和,且2Sn=a^2n+an,点Pn(an,bn)都在直线l:y=2x+2上(1)求数列{an},{bn}的通项公式(2)求证:1/│p1p2│^2+1/│p1p3│^2+...+1/│p1pn│^2<2/5(n≥2,n∈N*)
题目详情
已知数列{an}各项均为正数,Sn是它的前n项和,且2Sn=a^2n+an,点Pn(an,bn)都在直线l:y=2x+2上
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)求证:1/│p1p2│^2+1/│p1p3│^2+...+1/│p1pn│^2<2/5 (n≥2,n∈N*)
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)求证:1/│p1p2│^2+1/│p1p3│^2+...+1/│p1pn│^2<2/5 (n≥2,n∈N*)
▼优质解答
答案和解析
设m=a^2,下式取n=1有a1=m
n=2 a2=m^2-2m
n=3 a3=m^3-2m^2+2m
2Sn=m^n+an
2Sn-1=m^(n-1)+an-1
两式减:2an=an-an-1 +m^n-m^(n-1)
an=-an-1 +m^n-m^(n-1)
递推: -an-1=an-2 -m^(n-1)+m^(n-2)
an-2=-an-3 +m^n(n-2)-m^(n-3)
.
(-1)^(n-2)a2=-(-1)^(n-2)a1 +(-1)^(n-2)m^2 -(-1)^(n-2)m^1
各式相加:an=-(-1)^(n-2)a1 +m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2-(-1)^(n-2)m^1
=m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2+(-1)^(n-1)*2m
=m^n+2m*(-1)^(n-1)[1+(-m)+(-m)^2+...+(-m)^(n-2)]
=m^n-2m*(-1)^n*[1+(-m)^(n-1)]/(1+m)
n=2 a2=m^2-2m
n=3 a3=m^3-2m^2+2m
2Sn=m^n+an
2Sn-1=m^(n-1)+an-1
两式减:2an=an-an-1 +m^n-m^(n-1)
an=-an-1 +m^n-m^(n-1)
递推: -an-1=an-2 -m^(n-1)+m^(n-2)
an-2=-an-3 +m^n(n-2)-m^(n-3)
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(-1)^(n-2)a2=-(-1)^(n-2)a1 +(-1)^(n-2)m^2 -(-1)^(n-2)m^1
各式相加:an=-(-1)^(n-2)a1 +m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2-(-1)^(n-2)m^1
=m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2+(-1)^(n-1)*2m
=m^n+2m*(-1)^(n-1)[1+(-m)+(-m)^2+...+(-m)^(n-2)]
=m^n-2m*(-1)^n*[1+(-m)^(n-1)]/(1+m)
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