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证明对于任意正整数n,(2+√3)^n必可表示成√s+√s-1的形式.
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证明对于任意正整数n,(2+√3)^n必可表示成√s+√s-1的形式.
▼优质解答
答案和解析
令a=2 b=√3
(a+b)^n=a^n+C(n,1)[a^(n-1)]*b+C(n,2)[a^(n-2)]*b^2+.+C(n,n-1)a*[b^(n-1)]+C(n,n)b^n
令(a+b)^n的整数部分为A 无理部分为B
则A^2-B^2=(A+B)(A-B) =[(a+b)^n][(a-b)^n]=(a^2-b^2)^n=1 B=√(A^2-1)
所以(2+√3)^n=A+B=√A^2 + √(A^2-1)
有一个部分不太好理解(a+b)^n的无理部分B的次数均为奇数m,
所以 -C(n,m)[a^(n-m)]*b^m=C(n,m)[a^(n-m)]*(-b)^m
因此A-B=[a+(-b)]^n=(a-b)^n
(a+b)^n=a^n+C(n,1)[a^(n-1)]*b+C(n,2)[a^(n-2)]*b^2+.+C(n,n-1)a*[b^(n-1)]+C(n,n)b^n
令(a+b)^n的整数部分为A 无理部分为B
则A^2-B^2=(A+B)(A-B) =[(a+b)^n][(a-b)^n]=(a^2-b^2)^n=1 B=√(A^2-1)
所以(2+√3)^n=A+B=√A^2 + √(A^2-1)
有一个部分不太好理解(a+b)^n的无理部分B的次数均为奇数m,
所以 -C(n,m)[a^(n-m)]*b^m=C(n,m)[a^(n-m)]*(-b)^m
因此A-B=[a+(-b)]^n=(a-b)^n
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