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已知函数f(x)是R上的偶函数,且满足f(5+x)=f(5-x),在[0,5]上有且只有f(1)=0,则f(x)在[-2013,2013]上的零点个数为()A.808B.806C.805D.804
题目详情
已知函数f(x)是R上的偶函数,且满足f(5+x)=f(5-x),在[0,5]上有且只有f(1)=0,则f(x)在[-2013,2013]上的零点个数为( )
A. 808
B. 806
C. 805
D. 804
A. 808
B. 806
C. 805
D. 804
▼优质解答
答案和解析
∵f(5+x)=f(5-x),
∴函数关于直线x=5对称,f(10+x)=f(-x),
∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,f(-x)=f(x)
∴f(10+x)=f(x),即函数以10为周期
∵在[0,5]上只有f(1)=0,∴在[0,10]上有两个零点
∵2012=201×10+2
∴f(x)在[0,2012]上的零点的个数为403
∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,
∴f(x)在[-2012,2012]上的零点的个数为806
故选B
∴函数关于直线x=5对称,f(10+x)=f(-x),
∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,f(-x)=f(x)
∴f(10+x)=f(x),即函数以10为周期
∵在[0,5]上只有f(1)=0,∴在[0,10]上有两个零点
∵2012=201×10+2
∴f(x)在[0,2012]上的零点的个数为403
∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,
∴f(x)在[-2012,2012]上的零点的个数为806
故选B
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