y^n+3y'+2y=2x^2+x+1的通解如果满意再加100分

Question

y^n+3y'+2y=2x^2+x+1的通解 如果满意再加100分

Answer 1

郭敦顒回答：
求y^n+3y'+2y=2x^2+x+1的通解
3y′ =2x^2+x+1－y^n－2y
∴y′=（2x²+x+1－y^n－2y） （1）
又y^n+3dy / dx +2y=2x^2+x+1
∴（y^n+2y）dx+3dy=（2x^2+x+1）dx
两边积分得,∫（y^n+2y）d x+∫3dy=∫（2x²+x+1）dx
∴∫（y^n+2y）d x=（2/3）x³+（1/2）x²+x－3y （ 2）
∴（y^n+2y）是导函数,其原函数是[（2/3）x³+（1/2）x²+x－3y]
等号左边∫（y^n+2y）d x=（dx/dy）∫（y^n+2y）dy
=（1/y′）[y^（n+1）/（n+1）+ y²+C],
代回（2）式得,（1/y′）[y^（n+1）/（n+1）+ y²+C]=（2/3）x³+（1/2）x²+x－3y
∴y′=[y^（n+1）/（n+1）+ y²+C]/[ （2/3）x³+（1/2）x²+x－3y] （3）
由（1）、（3得）,
（2x²+x+1－y^n－2y）=[y^（n+1）/（n+1）+ y²+C]/[ （2/3）x³+（1/2）x²+x－3y]
∴方程的通解是：
[y^（n+1）/（n+1）+ y²+C] =（2x²+x+1－y^n－2y）[ （2/3）x³+（1/2）x²+x－3y]
此种类型的微分方程,我首次接触到,思考了半天方解出.这应是解微分方程的一种方法,已与积分方程有联系了,显然超出了常微分方程的范围.
2013-5-24-15——25-4-50