已知f（x）=logax-x+1（a＞0，且a≠1）（1）若a=e，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知f（x）=log_ax-x+1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=e，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=e时，f(x)＝lnx−x+1，x∈(0，+∞)，f′(x)＝(1)/(x)−1

令f′(x)＞0，知0＜x＜1，故f(x)的单调增区间为(0，1)；

同理f(x)的单调减区间为(1，+∞)，

（2）∵f(x)＝logax−x+1＝(lnx)/(lna)−x+1，
∴f(x)＞0在(1，2)上恒成立⇔(lnx)/(lna)＞x−1在(1，2)上恒成立
而x∈（1，2）时，lnx＞0，x-1＞0∴0＜a＜1不合题意∴a＞1
∴(lnx)/(lna)＞x−1在(1，2)上恒成立⇔lna＜(lnx)/(x−1)在(1，2)上恒成立令F(x)＝(lnx)/(x−1)，则F′(x)＝((1)/(x)(x−1)−lnx)/((x−1)2)＝(1−(1)/(x)+ln(1)/(x))/((x−1)2)
由（1）知，当x＞0，f（x）=lnx-x+1＜f（1）=0，
∴x∈(1，2)即(1)/(x)∈((1)/(2)，1)时，ln(1)/(x)−(1)/(x)+1＜0恒成立，
∴F'（x）＜0恒成立∴F（x）在（1，2）上单调递减，
即F（x）＞F（2）=ln2，∴lna≤ln2，∴a≤2，
综上得a∈（1，2]．