求数列极限遇到Xn+1=ln(1+Xn)为数列通项X1>0为什么它的下界是0?求数列极限遇到Xn+1=ln(1+Xn)为数列通项X1>0为什么它的下界是0?请解释清楚一点.(n+1是脚标)

Question

求数列极限 遇到Xn+1=ln(1+Xn) 为数列通项 X1>0 为什么它的下界是0?
求数列极限 遇到Xn+1=ln(1+Xn) 为数列通项 X1>0 为什么它的下界是0?请解释清楚一点.(n+1是脚标)

Answer 1

x＞0时,ln(1＋x)＞0
x1＞0,
x(n+1)＝ln(1＋xn)
由数学归纳法,{xn}每一项都大于0,0是它的一个下界
注意当x＞0时,x＞ln(x＋1)（构造函数求导即可证明）
所以x(n+1)－xn＜0,{xn}单调减,从而收敛,很容易得收敛于0
0不仅是下界,还是下确界