设y=f^2(3x-2/3x+2),f(x)=In(1+x^2）,则dy/dx|x=0=?还是这道题,求导过程不是很清楚,求教!就是一步一步的求解

Question

设y=f^2(3x-2/3x+2),f(x)=In(1+x^2）,则dy/dx|x=0=?还是这道题,求导过程不是很清楚,求教!
就是一步一步的求解

Answer 1

设y=f^2(3x-2/3x+2),f(x)=In(1+x^2）,则dy/dx|x=0=?
【解】这是一个复合函数求导的问题,有两种解决方案.一是将y=f^2(3x-2/3x+2)的具体函数式求出,应该是：Y=Ln(18X^2+8)-2Ln(3X+2),然后对其求导；二是用换元法将t=(3x-2)/(3x+2),然后使用复合函数原则求导.
前者易懂,但是运算艰苦,只要公式记得,应该没有问题,我算得结果为：-6Ln2不知当否?
下面来讨论后者的求导过程：
换元：令t=(3x-2)/(3x+2),则：y=f^2(t）=（In(1+t^2))^2
这时求导应该对t来求导：dy/dt=2In(1+t^2)*（1/（1+t^2））*2t
但是题目是对X求导,所以由复合函数求导的原则有：
dy/dx=（dy/dt）*（dt/dx)=(2In(1+t^2)*（1/（1+t^2））*2t)*(3/(3x+2)-3(3x-2)/(3x+2)^2)
(上式中的t可以用t=(3x-2)/(3x+2)替换,不过这个题由于是求X=0的导数,也可以不换,令t=-1就是了.X=0时,t=-1)
好像也是：-6Ln2
【OK】