求微分方程Y”－2Y'＋Y＝X^2的通解

Question

求微分方程Y”－2Y'＋Y＝X^2的通解

Answer 1

y''-2y'+y=x^2 即y''-2y'+y-x^2=0 即(y-x^2+x^2)''-2(y-x^2+x^2)'+y-x^2=0 即(y-x^2)''+2-2(y-x^2)'+4x+y-x^2=0 即(y-x^2)''-2(y-x^2)'+y-x^2+4x+2=0 即(y-x^2+4x+2-4x-2)''-2(y-x^2+4x+2-4x-2)'+y-x^2+4x+2=0 即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+8+y-x^2+4x+2=0 即(y-x^2+4x+2)''-2(y-x^2+4x+2)+y-x^2+4x+10=0 即(y-x^2+4x+10)''-2(y-x^2+4x+10)+y-x^2+4x+10=0 令u=y-x^2+4x+10,则 u''-2u'+u=0 即u''-u'=u'-u 即(u'-u)'=u'-u 积分得：u'-u=A*e^{x} 令u=v*e^{x}为上述方程的解,代入化简可得 v'=A 积分得：v=Ax+B 从而：u=(Ax+B)*e^{x} 从而：y=(Ax+B)*e^{x}+x^2-4x-10 是为原方程的通解,可以带入检验之.