AB为直径作半圆,E是圆上一动点,C是BE延长线上一点,过点C作AB垂线,交AB于D,CD交AE于H,AB=CD=2,证OH+HD＝1.不要用四点共圆

Question

AB为直径作半圆,E是圆上一动点,C是BE延长线上一点,过点C作AB垂线,交AB于D,CD交AE于H,AB=CD=2,证OH+HD＝1.
不要用四点共圆

Answer 1

首先：
AD^2+HD^2=AH^2
AD/AH=AE/AB,得2AD=AE*AH
HE/CH=HD/AH,得HE*AH=CH*HD
OH^2=OD^2+DH^2
=(1-AD)^2+DH^2
=1-2AD+AD^2+DH^2
=1-AE*AH+AH^2
=1-AH*(AE-AH)
=1-AH*HE
=1-CH*HD
=1-(2-HD)*HD
=(1-HD)^2
所以OH=1-HD,得OH+HD=1