已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

Question

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且(CF)/(CB)＝(CG)/(CD)＝(2)/(3)．
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

Answer 1

证明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH

∥

.

.

(1)/(2)BD
又∵(CF)/(CB)＝(CG)/(CD)＝(2)/(3)，∴FG

∥

.

.

(2)/(3)BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点