设f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x2+1）f′（x）-2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为．

Question

设f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x²+1）f′（x）-2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为______．

Answer 1

因为当x＞0时，有 （x²+1）f'（x）-2xf（x）＜0恒成立，即[(f(x))/(x2+1)]′＜0恒成立，
所以y=(f(x))/(x2+1)在（0，+∞）内单调递减．
因为f（-1）=0，
所以在（0，1）内恒有f（x）＞0；在（1，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-1）内恒有f（x）＞0；在（-1，0）内恒有f（x）＜0．
即不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．