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设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为.
题目详情
设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为______.
▼优质解答
答案和解析
因为当x>0时,有 (x2+1)f'(x)-2xf(x)<0恒成立,即[
]′<0恒成立,
所以y=
在(0,+∞)内单调递减.
因为f(-1)=0,
所以在(0,1)内恒有f(x)>0;在(1,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-1)内恒有f(x)>0;在(-1,0)内恒有f(x)<0.
即不等式f(x)>0的解集为:(-∞,-1)∪(0,1).
故答案为:(-∞,-1)∪(0,1).
f(x) |
x2+1 |
所以y=
f(x) |
x2+1 |
因为f(-1)=0,
所以在(0,1)内恒有f(x)>0;在(1,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-1)内恒有f(x)>0;在(-1,0)内恒有f(x)<0.
即不等式f(x)>0的解集为:(-∞,-1)∪(0,1).
故答案为:(-∞,-1)∪(0,1).
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