（1）证明方程xn+xn-1+…+x=1（n＞1的整数），在区间(12，1)内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为（1）证明方程xn+xn-1+…+x=1（n＞1的整数），在区间(12，1)内有且仅有一个实根；（2）记

Question

（1）证明方程xn+xn-1+…+x=1（n＞1的整数），在区间(12，1)内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为
（1）证明方程xⁿ+x^n-1+…+x=1（n＞1的整数），在区间((1)/(2)，1)内有且仅有一个实根；
（2）记（1）中的实根为x_n，证明

lim

n→∞

xn存在，并求此极限．

Answer 1

证明：
（1）
由题意：
令f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1  （n＞1的整数），
则f(x)∈C[(1)/(2)，1]，且f（1）=n-1＞0，f((1)/(2))＝((1)/(2)[1?((1)/(2))n])/(1?(1)/(2))?1＝?((1)/(2))n＜0
∴由零点定理，知：
f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1在((1)/(2)，1)至少存在一个零点，
即方程xⁿ+x^n-1+…+x=1在((1)/(2)，1)至少有一个实根，
又由于：f′（x）=nx^n-1+（n-1）x^n-2+…+1＞0，x∈((1)/(2)，1)，
∴f（x）在[(1)/(2)，1]是单调的，
因而函数：f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1在((1)/(2)，1)至多存在一个零点，
∴方程xⁿ+x^n-1+…+x=1在((1)/(2)，1)有且仅有有一个实根，证毕．

（2）
记（1）中的实根为x_n，
则：(1)/(2)＜xn＜1，（n＞1），
由于：f（x_n）=0，
可知：xnn+xnn?1+…+xn?1＝0，①
由f（x_n+1）=0，
可知：xn+1n+1+xn+1n+…+xn+1?1＝0，
进一步有：xn+1n+…+xn+1?1＜0，②
比较①式与②式可知：x_n+1＜x_n，故{x_n}单调递减的，
又由于：(1)/(2)＜xn＜1，也即{x_n}是有界的，
则由单调有界收敛定理可知：{x_n}收敛，
假设：

lim

n→∞

xn＝a，
则：a＜x₂＜x₁=1，
且

lim

n→∞

f(xn)＝

lim

n→∞

(xn(1?xnn))/(1?xn)?1=(a)/(1?a)?1＝0，
∴a＝(1)/(2)，
即：

lim

n→∞

xn ＝(1)/(2)．