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矩形ABCD的对角线相交于点O,DE‖AC,CE‖BD,若角ACB=30度,菱形OCED的面积为8根号3,求AC的长
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矩形ABCD的对角线相交于点O,DE‖AC,CE‖BD,若角ACB=30度,菱形OCED的面积为8根号3,求AC的长
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答案和解析
∵ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,又∠ACB=30°,∴BC=√3AB,
∴△ABC的面积=(1/2)BC×AB=(√3/2)AB^2,∴△BCD的面积=(√3/2)AB^2.
∵ABCD是矩形,∴BO=DO,∴△OCD的面积=(1/2)△BCD的面积=(√3/4)AB^2.
∵菱形OCDE的面积=2△OCD的面积=8√3,∴△OCD的面积=4√3.
∴(√3/4)AB^2=4√3,∴AB=4,∴BC=4√3.
由勾股定理,得:AC=√(AB^2+BC^2)=√(16+16×3)=8.
∴△ABC的面积=(1/2)BC×AB=(√3/2)AB^2,∴△BCD的面积=(√3/2)AB^2.
∵ABCD是矩形,∴BO=DO,∴△OCD的面积=(1/2)△BCD的面积=(√3/4)AB^2.
∵菱形OCDE的面积=2△OCD的面积=8√3,∴△OCD的面积=4√3.
∴(√3/4)AB^2=4√3,∴AB=4,∴BC=4√3.
由勾股定理,得:AC=√(AB^2+BC^2)=√(16+16×3)=8.
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