矩形ABCD的对角线相交于点O,DE‖AC,CE‖BD,若角ACB=30度,菱形OCED的面积为8根号3,求AC的长

Question

矩形ABCD的对角线相交于点O,DE‖AC,CE‖BD,若角ACB=30度,菱形OCED的面积为8根号3,求AC的长

Answer 1

∵ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,又∠ACB＝30°,∴BC＝√3AB,
∴△ABC的面积＝（1/2）BC×AB＝（√3/2）AB^2,∴△BCD的面积＝（√3/2）AB^2.
∵ABCD是矩形,∴BO＝DO,∴△OCD的面积＝（1/2）△BCD的面积＝（√3/4）AB^2.
∵菱形OCDE的面积＝2△OCD的面积＝8√3,∴△OCD的面积＝4√3.
∴（√3/4）AB^2＝4√3,∴AB＝4,∴BC＝4√3.
由勾股定理,得：AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（16＋16×3）＝8.