三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,点P在射线AB上运动(点P不与点A、B重合),PE垂直于AC于点E,PF垂直BC于点F,点O为边AB的中点,连接OE,OF.(1)若点P在线段AB上时,如图1,判断线段OE与OF的数量关系和位置关系,请
(1)若点P在线段AB上时,如图1,判断线段OE与OF的数量关系和位置关系,请直接写出结论,不必说明理由.
(2)若点P在线段AB的延长线上时,如图2,连接PC,
第一,判断线段PC与OE的数量关系,并加以说明.
第二,判断线段AP\BP与CP三者间的数量关系(用等式表示),直接写出结论.
(图1、2性质相同,因此只作一图分析)
(1)结论:OE=OF,且OE⊥OF;
方法:连接OC;
由于点E、F分别为过点P所作射线AC、CB上垂线的垂足,且点E、F随点P的运动而运动,那么点E、F的运动速率相等,则EA=FC;
∵AC=BC,∠C=90°,且点O为线段AB的中点;
∴OA=OC,且∠A=∠OCF=45°;
∵OA=OC,∠A=∠CFO,EA=FC(两边及其夹角相等推证全等);
∴△AOE≌△COF,则OE=OF;
由于△AOE≌△COF,那么∠AOE=∠COF,而∠AOE与∠COF共∠COE,又∠AOE=∠COE+90°,则∠EOF=90°,即有OE⊥OF;
(2)①判断:PC=√2OE;
分析:依题意推知,四边形CEPF为矩形,那么PC=EF;又OE=OF,且OE⊥OF,即△EOF为等腰直角三角形,则EF=√2OE,即有PC=√2OE;
②判断:AP²+BP²=2CP²;
分析:在Rt△PFC中,由勾股定理得
CP²=FP²+CF²
根据题意并结合图形可知:FP=FB=√2/2•BP;
CB=CA=√2/2•AB;
CF=CB+FB=√2/2•(AB+BP);
AB=AP-BP;
转化:CP²=FP²+CF²
=(√2/2•BP)²+½•(AB+BP)²
=BP²+½•AB²+AB•BP
=BP²+½•(AP-BP)²+(AP-BP)•BP
=½•(AP²+BP²)
故AP²+BP²=2CP².
.
已知抛物线C:(y+3/4)^2=x对于过原点的直线L,曲线C上总存在两点已知抛物线C:(y+3/ 2020-04-11 …
若抛物线y=x^2上总存在两点关于直线y=m(x-3)对称,求m取值范围 2020-05-14 …
如图,正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上,且AE=1.点F为边CD上一动点,且DF=m,以A 2020-05-16 …
在等边三角形ABC中,AB=8,点D在边BC上,三角形ADE为等边三角形,且点E与点D在直线AC的 2020-06-12 …
若在抛物线y^2=2x-4上存在两点,关于直线L:y=m(x-4)对称,求m的范围 2020-07-21 …
求适合下列条件的抛物线的标准方程(要详细的解题过程).1.顶点在原点,关于x轴对称,并且经过点M( 2020-07-26 …
求满足下列条件的抛物线的标准方程.1.焦点坐标是(-5,0)2.焦点在直线X-2Y-4=0上3.顶 2020-07-26 …
已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m, 2020-07-31 …
已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m 2020-10-31 …
已知一直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=2,BC=4.折叠该纸片,使点B落在边AC上,折 2021-01-22 …