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关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,求a,b满足的关系式=?
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关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,求a,b满足的关系式=?
▼优质解答
答案和解析
将原方程整理得
(a^2m^2+1)x^2+2ma^2(b-m)x+a^2[(b-m)^2-1]=0
由于a^2m^2+1>0,因此原方程为关于x的一元二次方程,
因为关于原方程对任意实数m恒有解,且a^2m^2+1>0
所以必须满足判别式Δ(x)=[2ma^2(b-m)]^2-4a^2(a^2m^2+1) [(b-m)^2-1]≥0恒成立,
整理,得
a^2[(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1]≥0 ①
现在将上式视为未知数为m的不等式,对上式系数进行讨论:
1)若a=0,则上式恒成立,满足条件;
2)若a≠0,但a^2-1=0,那么①式可化为2bm-b^2+1≥0,此时当且仅当b=0时,①式化为1≥0,此式恒成立,满足条件;
3)若a≠0且a^2-1≠0时,①式可化为(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1≥0,
要使该式恒成立,只有a^2-1>0且关于m的辨别式
Δ(m)=(2b)^2-4(a^2-1)(-b^2+1)≤0
化简,得 a^2-1>0且a^2b^2-(a^2-1)≤0
即 (a^2-1)/ a^2≥b^2
综上所述,关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,a,b的关系必须满足下列条件之一:
(1)a=0,b为任意实数;
(2)a=±1,b=0;
(3)(a^2-1)/ a^2≥b^2且a(a^2-1)≠0.
解答完毕,希望能够看明白.
(a^2m^2+1)x^2+2ma^2(b-m)x+a^2[(b-m)^2-1]=0
由于a^2m^2+1>0,因此原方程为关于x的一元二次方程,
因为关于原方程对任意实数m恒有解,且a^2m^2+1>0
所以必须满足判别式Δ(x)=[2ma^2(b-m)]^2-4a^2(a^2m^2+1) [(b-m)^2-1]≥0恒成立,
整理,得
a^2[(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1]≥0 ①
现在将上式视为未知数为m的不等式,对上式系数进行讨论:
1)若a=0,则上式恒成立,满足条件;
2)若a≠0,但a^2-1=0,那么①式可化为2bm-b^2+1≥0,此时当且仅当b=0时,①式化为1≥0,此式恒成立,满足条件;
3)若a≠0且a^2-1≠0时,①式可化为(a^2-1)m^2+2bm-b^2+1≥0,
要使该式恒成立,只有a^2-1>0且关于m的辨别式
Δ(m)=(2b)^2-4(a^2-1)(-b^2+1)≤0
化简,得 a^2-1>0且a^2b^2-(a^2-1)≤0
即 (a^2-1)/ a^2≥b^2
综上所述,关于x的方程x^2+a^2(b-m+mx)^2=a^2对任意实数m恒有解,a,b的关系必须满足下列条件之一:
(1)a=0,b为任意实数;
(2)a=±1,b=0;
(3)(a^2-1)/ a^2≥b^2且a(a^2-1)≠0.
解答完毕,希望能够看明白.
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