双曲线中心在原点，一条渐近线方程为y＝2x，准线方程为x＝−33．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点，求k范围．

Question

双曲线中心在原点，一条渐近线方程为y＝√(2)x，准线方程为x＝−(√(3))/(3)．
（1）求双曲线方程；
（2）若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点，求k范围．

Answer 1

（1）设双曲线方程为x2−(y2)/(2)＝λ(λ＞0)
由准线方程知(√(3))/(3)＝(λ)/(√(3λ))⇒λ＝1
∴双曲线方程为x2−(y2)/(2)＝1
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x₀，y₀）
设MN的方程为y＝−(1)/(k)x+n代入x2−(y2)/(2)＝1
得(2−(1)/(k2))x2+(2n)/(k)x−n2−2＝0
由

2−(1)/(k2)≠0

△＝(4n2)/(k2)+4(2−(1)/(k2))(n2+2)＞0

⇒n2＞(1)/(k2)−2且k≠±(√(2))/(2)
又Q（x₀，y₀）在直线y=kx+1
∴(−2nk2)/(1−2k2)＝(nk2)/(1−2k2)+1
∴n＝(2k2−1)/(3k2)
代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴k2＞(1)/(2)或 0＜k2＜(1)/(11)且k≠±(√(2))/(2)
∴k∈(−∞，−(√(2))/(2))∪(−(√(11))/(11)，0)∪(0，(√(11))/(11))∪((√(2))/(2)，+∞)