第二型曲线积分问题∫Lydx+zdy+xdz,其中L是x+y=2与x^2+y^2+z^2=2(x+y)的交线,从原点看去是顺时针方向答案是-2√2π,可我算出来却是2,

Question

第二型曲线积分问题
∫L ydx+zdy+xdz,其中L是x+y=2与x^2+y^2+z^2=2(x+y)的交线,从原点看去是顺时针方向
答案是-2√2π,可我算出来却是2,

Answer 1

设S是平面x+y=2被x^2+y^2+z^2=2(x+y)截得的部分,取上侧,则S的单位法向量
n=(cosα,cosβ,cosγ)=(1/√2,1/√2,0),由斯托克斯公式,原积分=-∫∫dxdy+dydz+dzdx=
-∫∫(cosα+cosβ+cosγ)dS=-2/√2∫∫dS,由于所截曲线为球面x^2+y^2+z^2=4与x+y=2的交线,可求得其圆周半径为√2,所以∫∫dS=2π,原积分=-2√2π