中心在原点的双曲线C1的一个焦点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，抛物线C2的准线l与双曲线C1的一个交点为A，且|AF|=5．（Ⅰ）求双曲线C1的方程；（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C1相交

Question

中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且

.

MB

=λ

.

BN

．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使

.

OB

⊥（

.

CM

-λ

.

CN

）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由条件得F（2，0），l：x=-2．
设所求双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），
直线l与x轴交于F′，根据|AF|=5，|FF′|=4，
得|AF′|=3，
从而

c＝2

(b2)/(a)＝3

．
解得a=1，b=√(3)．从而所求的双曲线方程为：x²-(y2)/(3)=1；

（Ⅱ）①设直线m：y=kx+1，代入x²-(y2)/(3)=1得，
（3-k²）x²-2kx-4=0，
∵直线m与曲线C₁交于两点M，N．
∴

3−k2≠0

(−k)2+4(3−k2)＞0

，
解得-2＜k＜-√(3)，或-√(3)＜k＜√(3)，或√(3)＜k＜2．
②设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由上面可得

x1+x2＝(−2k)/(k2−3)

x1x2＝(4)/(k2−3)

，
由

MB

＝λ

BN

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
∴x₁=-λx₂，
设存在点C（t，t），
则

CM

−λ

CN

＝(x1−t，y1−t)−λ(x2−t，y2−t)
=（x₁-λx₂+t（λ-1），y₁-λy₂+t（λ-1）），
又

OB

＝(0，1)，从而由

OB

⊥(

CM

−λ

CN

)，
得y₁-λy₂+t（λ-1）=0．
因直线m的斜率不为零，故λ≠1．
所以解得t=(y1−λy2)/(1−λ)=(kx1+1−λ(kx2+1))/(1−λ)=1+k⋅(x1−λx2)/(1−λ)．
因为λ=-(x1)/(x2)，代入得t=1+k⋅(2x1x2)/(x1+x2)，
因为

x1+x2＝(−2k)/(k2−3)

x1x2＝(4)/(k2−3)

，
代入得t=-3，即存在点C（-3，-3），满足要求．