已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在X轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,与Y轴的正半轴相交于点E,点B（-1,0）,P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）.求：A、E坐标若Y=-6根号3分之7X方+BX,+CDUO

Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在X轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,与Y轴的正半轴相交于点E,点B（-1,0）,P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）.
求：
A、E坐标
若Y=-6根号3分之7X方+BX,+CDUO a,e,求抛物线解析式
连结PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求P的坐标及L的最小值.

Answer 1

、（1）连结AD,不难求得A（1,2 ）
OE= ,得E（0, ）
（2）因为抛物线y= 过点A、E
由待定系数法得：c= ,b=
抛物线的解析式为y=
（3）B点座标为（-1,0）,BD=4/2=2,D点座标为（1,0）,AD=√（4*4-2*2）=2√3,A点座标为（1,2√3）,设P座标为（x,y）,则直线AC的方程为：
(y-2√3)/(x-1)=y/(x-3)
即y=3√3-√3x=√3*(3-x)
PB=√[（x+1）^2+y^2]
=√[（x+1）^2+3*(3-x)^2]
=2√（x^2-4x+7)
PD=√[（x-1）^2+y^2]
=√[（x-1）^2+3*(3-x)^2]
=2√（x^2-5x+7)
L=2+2√（x^2-4x+7)+2√（x^2-5x+7)
设L-2=2M,则 2M=2√（x^2-4x+7)+2√（x^2-5x+7)
M=√（x^2-4x+7)+√（x^2-5x+7)
M-√（x^2-5x+7)=√（x^2-4x+7)
上方程两边平方,得
m^2-2m√（x^2-5x+7)+x^2-5x+7=x^2-4x+7,化简得
m^2-x=2m√（x^2-5x+7)
上方程两边平方,化简得
(4m^2-1)*x^2-18m^2*x+m^2*(28-m^2)=0
方程的判别式△=(-18m^2)^2-4*(4m^2-1)*m^2*(28-m^2)≥0
m>0,上不等式方程化简,得
m^4-8m^2+7≥0
(m^2-7)*(m^2-1)≥0
（1）m^2-7≥0,m^2-1≥0,得m^2≥7,m≥√7
即L-2=2M≥2√7
L≥2+2√7
L的最小值=2+2√7
△=0
x1=x2=-（-18m^2）/[2*(4m^2-1)]
=（18*7）/[2*（4*7-1）]
=7/3
y1=y2=√3*(3-x)=√3*(3-7/3)=2√3/3
（2）m^2-7≤0,m^2-1≤0,得m≤1,
L-2=2M≤2,L≤4,但BD=2,PD+PB>BD=2,所以
L=BD+PD+PB>4,故L≤4不符合已知条件.
因此L的最小值=2+2√7,这时点P的坐标为（7/3,2√3/3）
答：L最小值=2+2√7,这时点P的坐标为（7/3,2√3/3）
大家记得这样一个常识吗?
“牵牛从点A出发,到河边l喝水,再到点B处吃草,走哪条路径最短?”即确定l上的点P
方法是作点A关于l的对称点A',连结A'B与l的交点P即为所求.

本题中的AC就是“河”,B、D分别为“出发点”和“草地”.
由引例并证明后,得先作点D关于AC的对称点D',
连结BD'交AC于点P,则PB与PD的和取最小值,
即△PBD的周长L取最小值.
不难求得∠D'DC=30º
DF= ,DD'=2
求得点D'的坐标为（4, ）
直线BD'的解析式为： x+
直线AC的解析式为：
求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（ , ）.
此时BD'= = =2
所以△PBD的最小周长L为2 +2
把点P的坐标代入y= 成立,所以此时点P在抛物线上.