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已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E1、在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ的数量关系;若不存在,请说明
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已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E
1、在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ的数量关系;若不存在,请说明理由.
2、当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,设AP为x,AE为y,求y于x之间的函数关系式和AE取值范围.
1、在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ的数量关系;若不存在,请说明理由.
2、当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,设AP为x,AE为y,求y于x之间的函数关系式和AE取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)假设存在这样的点Q;
∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,
∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90°,
∴∠APE=∠DCP,又∵∠A=∠D=90°,
∴△APE∽△DCP,
∴ AP/DC= AE/DP,∴AP•DP=AE•DC;
同理可得AQ•DQ=AE•DC;
∴AQ•DQ=AP•DP,即AQ•(3-AQ)=AP•(3-AP),
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2,
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ,
∴(AP+AQ)(AP-AQ)=3(AP-AQ);
∵AP≠AQ,
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ,
∴AP≠ 3/2,即P不能是AD的中点,
∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在.
当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3.
(2)设AP=x,AE=y,由AP•DP=AE•DC可得x(x-3)=2y,
∴y= 12x(3-x)=- 12x2+ 32x=- 12(x- 32)2+ 98,
∴当x= 32(在0<x<3范围内)时,y最大值= 98;
而此时BE最小为 78,
∴BE的取值范围是 78≤BE<2
累死我了,选我哦~
∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,
∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90°,
∴∠APE=∠DCP,又∵∠A=∠D=90°,
∴△APE∽△DCP,
∴ AP/DC= AE/DP,∴AP•DP=AE•DC;
同理可得AQ•DQ=AE•DC;
∴AQ•DQ=AP•DP,即AQ•(3-AQ)=AP•(3-AP),
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2,
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ,
∴(AP+AQ)(AP-AQ)=3(AP-AQ);
∵AP≠AQ,
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ,
∴AP≠ 3/2,即P不能是AD的中点,
∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在.
当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3.
(2)设AP=x,AE=y,由AP•DP=AE•DC可得x(x-3)=2y,
∴y= 12x(3-x)=- 12x2+ 32x=- 12(x- 32)2+ 98,
∴当x= 32(在0<x<3范围内)时,y最大值= 98;
而此时BE最小为 78,
∴BE的取值范围是 78≤BE<2
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