如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB于E，设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，AC=√(AB2−BC2)＝√(102−82)=6，
∴tanB=(6)/(8)＝(3)/(4)．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠BCA=90°．
∴DE=BD•tanB=(3)/(4)x，CD=BC-BD=8-x．
设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．
∴y=(1)/(2)DE•CD=(1)/(2)×(3)/(4)x•（8-x），即y=−(3)/(8)x2+3x．
自变量x的取值范围是0＜x＜8；
（2）x=−(3)/(2×(−(3)/(8)))=4时，y_最大=(4×(−(3)/(8))×0−32)/(4×(−(3)/(8)))=6．
即当x=4时，△ADE的面积最大为6．