梯形ABCD中,AD||BC,AB=DC,BC=根号3,AD=8-2倍根号3,AC,BD交于O,且∠AOD=60度,E是OC中点,F是AB中点,求EF长

Question

梯形ABCD中,AD||BC,AB=DC,BC=根号3,AD=8-2倍根号3,AC,BD交于O,且∠AOD=60度,E是OC中点,F是AB中点,求EF长

Answer 1

AB＝DC,所以这是等腰梯形；
∠AOD＝60°,所以△OBC和△OAD都是等边三角形,因此
OB＝BC,OA=AD；
取OB的中点G,则EG||CB,FG||AC,所以
∠OBC＝∠BOC＝∠AOD＝60°,
∠OGE＝∠OBC＝60°,
∠OGF＝∠AOD＝60°,
∠EGF＝∠OGE＋∠OGF＝60°＋60°=120°；
同时,EG=BC/2,GF=OA/2=AD/2.
在△EFG中使用余弦定理得：
EF^2=EG^2+FG^2-2*EG*FG*cos(∠EGF)
=(BC/2)^2+(AD/2)^2-2*(BC/2)*(AD/2)*cos(120°)
=(√3/2)^2+((8-2√3)/2)^2-2*(√3/2)*((8-2√3)/2)*(-1/2)
=(73-24√3)/4.