椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程．

Question

椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(√(3))/(2)，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P，Q，且|PQ|＝√(10)，求椭圆的方程．

Answer 1

e＝(c)/(a)＝(√(3))/(2)，则c＝(√(3))/(2)a．由c²=a²-b²，得a²=4b²．
由

(x2)/(4b2)+(y2)/(b2)＝1

x+2y+8＝0

消去x，得2y²+8y+16-b²=0．
由根与系数关系，得y₁+y₂=-4，y1y2＝(16−b2)/(2)．
|PQ|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）² =5（y₁-y₂）² =5[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=10，
即5[16-2（16-b²）]=10，解得b²=9，则a²=36．
所以椭圆的方程为(x2)/(36)+(y2)/(9)＝1．