已知动直线l过点P（4,0).交抛物线y^2=2mx(m>0)于A,B两点,O为原点,Q是P关于O的对称点（1）求证角AQP=角BQP（2）当m=2时,垂直x轴的直线t被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值,求t的方程

Question

已知动直线l过点P（4,0).交抛物线y^2=2mx(m>0)于A,B两点,O为原点,Q是P关于O的对称点
（1）求证角AQP=角BQP
（2）当m=2时,垂直x轴的直线t被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值,求t的方程

Answer 1

（1）
设过点P（4,0)的动直线l方程为x=ky+4(因为交抛物线于A,B两点,所以不为x轴,但可以与x轴平行,故如上所设)
将x=ky+4与y^2=2mx联立,得y^2-2mky-8m=0
令A、B两点坐标为（x1,y1）、（x2,y2）有：y1+y2=2mk,y1*y2=-8m(据已知可知该直线过抛物线内定点,与其定有交点,故不必列出△判别式)
据以知有Q（-4,0）.令角AQP斜率为k1,角BQP斜率为k2.
k1=y1/(x1+4),k2=y2/(x2+4)所以有k1/k2=y1(x2+4)/y2(x1+4)=y1(ky2+8)/y2(ky1+8)=y1(-8mk/y1 +8)/y2(-8mk/y2 +8）因为y1*y2=-8m
原式=(8y1-8mk)/(8y2-8mk)=(8y1-8mk)/（8mk-8y1）=-1因为y1+y2=2mk
即k1=-k2,所以角AQP=角BQP
（2）
当m=2时,y^2=4x,焦点为（1,0）,令t:x=t,以A（a,b）P为直径的圆方程为
(x-a)(x-4)+y(y-b)=0(利用向量求出)
化简得：（x-(4+a)/2）^2+(y-b/2)^2=((a-4)^2+b^2)/4
所以圆心得（（4+a)/2,b/2）,半径平方为((a-4)^2+b^2)/4
直线t被圆截得的弦长恒为定值,所以有((a-4)^2+b^2)/4-（（4+a)/2 -t)^2为定值,根据b^2=4a整理可得
代数式=a(t-2)+t(4-t),使其为定值,即与a的取值无关,有t=2
所以直线为x=2,且弦长为4