数学/-*-*-/*-/-*-**/////////////------------++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++已知ab不等于0,求证：a³+b³+ab-a²-b²=0的充要条件a+b=1

Question

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已知ab不等于0,求证：a³+b³+ab-a²-b²=0的充要条件a+b=1

Answer 1

（1）a³+ b³+ab-a²-b²
= (a+b)^3-3ab(a+b)+ab-(a+b)^2+2ab
=(a+b)^3-(a+b)^2-3ab(a+b)+3ab
=(a+b)^2(a+b-1)-3ab(a+b-1)
=[(a+b)^2-3ab](a+b-1)
现证明(a+b)^2-3ab≠0,用反证法：
若(a+b)^2-3ab=0,即a^2+b^2-ab=0,则(a+b)( a^2+b^2-ab)=0,
即a^3+b^3=0
即a=-b,即a+b=0
因(a+b)^2-3ab=0,所以ab=0,与已知ab≠0矛盾,故假设(a+b)^2-3ab=0不成立.
故若a³+ b³+ab-a²-b²=0,则只有a+b-1=0,即a+b=1
(2) 若a+b=1,则a³+ b³+ab-a²-b² = [(a+b)^2+3ab](a+b-1)=0
命题得证.