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(2012•潍坊)如图,三角形ABC的两个顶点B、C在圆上,顶点A在圆外,AB、AC分别交圆于E、D两点,连接EC、BD.(1)求证:△ABD∽△ACE;(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状
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(2012•潍坊)如图,三角形ABC的两个顶点B、C在圆上,顶点A在圆外,AB、AC分别交圆于E、D两点,连接EC、BD.
(1)求证:△ABD∽△ACE;
(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.
(1)求证:△ABD∽△ACE;
(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵弧ED所对的圆周角相等,
∴∠EBD=∠ECD,
又∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACE;
(2)方法1:因为S△BEC=S△BCD,
S△ACE=S△ABC-S△BEC,S△ABD=S△ABC-S△BCD,
所以S△ACE=S△ABD,
又由(1)知△ABD∽△ACE,
所以对应边之比等于1,
所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形;
方法2:如图,连接DE.
因为△BEC与△BCD的面积相等,有公共底边BC,所以高相等,
即E、D两点到BC的距离相等,所以ED∥BC,
∴
=
,
∴∠ECB=∠DBC,
又因为∠EBD=∠ECD,
所以∠ABC=∠ACB,
即△ABC为等腰三角形.
∴∠EBD=∠ECD,
又∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACE;
(2)方法1:因为S△BEC=S△BCD,
S△ACE=S△ABC-S△BEC,S△ABD=S△ABC-S△BCD,
所以S△ACE=S△ABD,
又由(1)知△ABD∽△ACE,
所以对应边之比等于1,
所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形;
方法2:如图,连接DE.
因为△BEC与△BCD的面积相等,有公共底边BC,所以高相等,
即E、D两点到BC的距离相等,所以ED∥BC,
∴
BE |
CD |
∴∠ECB=∠DBC,
又因为∠EBD=∠ECD,
所以∠ABC=∠ACB,
即△ABC为等腰三角形.
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