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一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90°,∠B=30°,∠E=45°,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).(1)当∠AFD=°时
题目详情
一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90°,∠B=30°,∠E=45°,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).
(1)当∠AFD=___°时,DF∥AC;当∠AFD=___°时,DF⊥AB;
(2)在旋转过程中,DF与AB的交点记为P,如图2,若AFP有两个内角相等,求∠APD的度数;
(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时,如图3,若∠AFM=2∠BMN,比较∠FMN与∠FNM的大小,并说明理由.
(1)当∠AFD=___°时,DF∥AC;当∠AFD=___°时,DF⊥AB;
(2)在旋转过程中,DF与AB的交点记为P,如图2,若AFP有两个内角相等,求∠APD的度数;
(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时,如图3,若∠AFM=2∠BMN,比较∠FMN与∠FNM的大小,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1所示:
当∠AFD=30时,AC∥DF.
理由:∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠CAF=30°.
∵∠AFD=30°,
∴∠CAF=∠AFD,
∴AC∥DF.
如图2所示:当∠AFD=60°时,DF⊥AB.
∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠AFG=30°.
∵∠AFD=60°,
∴∠FGB=90°.
∴DF⊥AB.
故答案为:30;60.
(2)∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠FAP=30°.
当如图3所示:
当∠FAP=∠AFP=30°时,∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°;
如图4所示:
当∠AFP=∠APF时.
∵∠FAP=30°,∠AFP=∠APF,
∴∠AFP=∠APF=
×(180°-30°)=
×150°=75°.
∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°;
如图5所示:
如图5所示:当∠APF=∠FAP=30°时.
∠APD=180°-30°=150°.
综上所述,∠APD的度数为60°或105°或150°.
(3)∠FMN=∠FNM.
理由:如图6所示:
∵∠FNM是△BMN的一个外角,
∴∠FNM=∠B+∠BMN.
∵∠B=30°,
∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN.
∵∠BMF是△AFM的一个外角,
∴∠MBF=∠MAF+∠AFM,
即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM.
又∵∠MAF=30°,∠AFM=2∠BMN,
∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN.
∴∠FMN=30°+∠BMN.
∴∠FNM=∠FMN.
当∠AFD=30时,AC∥DF.
理由:∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠CAF=30°.
∵∠AFD=30°,
∴∠CAF=∠AFD,
∴AC∥DF.
如图2所示:当∠AFD=60°时,DF⊥AB.
∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠AFG=30°.
∵∠AFD=60°,
∴∠FGB=90°.
∴DF⊥AB.
故答案为:30;60.
(2)∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,
∴∠FAP=30°.
当如图3所示:
当∠FAP=∠AFP=30°时,∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°;
如图4所示:
当∠AFP=∠APF时.
∵∠FAP=30°,∠AFP=∠APF,
∴∠AFP=∠APF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°;
如图5所示:
如图5所示:当∠APF=∠FAP=30°时.
∠APD=180°-30°=150°.
综上所述,∠APD的度数为60°或105°或150°.
(3)∠FMN=∠FNM.
理由:如图6所示:
∵∠FNM是△BMN的一个外角,
∴∠FNM=∠B+∠BMN.
∵∠B=30°,
∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN.
∵∠BMF是△AFM的一个外角,
∴∠MBF=∠MAF+∠AFM,
即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM.
又∵∠MAF=30°,∠AFM=2∠BMN,
∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN.
∴∠FMN=30°+∠BMN.
∴∠FNM=∠FMN.
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