一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．（1）当∠AFD=°时

Question

一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．
（1）当∠AFD=___°时，DF∥AC；当∠AFD=___°时，DF⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1所示：

当∠AFD=30时，AC∥DF．
理由：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠CAF=30°．
∵∠AFD=30°，
∴∠CAF=∠AFD，
∴AC∥DF．
如图2所示：当∠AFD=60°时，DF⊥AB．

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠AFG=30°．
∵∠AFD=60°，
∴∠FGB=90°．
∴DF⊥AB．
故答案为：30；60．
（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠FAP=30°．
当如图3所示：

当∠FAP=∠AFP=30°时，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；
如图4所示：

当∠AFP=∠APF时．
∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF，
∴∠AFP=∠APF=(1)/(2)×（180°-30°）=(1)/(2)×150°=75°．
∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°；
如图5所示：

如图5所示：当∠APF=∠FAP=30°时．
∠APD=180°-30°=150°．
综上所述，∠APD的度数为60°或105°或150°．
（3）∠FMN=∠FNM．
理由：如图6所示：

∵∠FNM是△BMN的一个外角，
∴∠FNM=∠B+∠BMN．
∵∠B=30°，
∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN．
∵∠BMF是△AFM的一个外角，
∴∠MBF=∠MAF+∠AFM，
即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM．
又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN，
∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN．
∴∠FMN=30°+∠BMN．
∴∠FNM=∠FMN．