如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，-5），BC=4，抛物线过点（2，3）．（1）求此抛物线的解析式；

Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A点，交x轴
于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，-5），BC=4，抛物线过点（2，3）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）记抛物线的顶点为M，求△ACM的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由点A的坐标为（0，-5）可知c=-5，
又∵抛物线经过点（2，3），
∴4a+2b-5=0①，
设B（x₁，0），C（x₂，0），则（x₁-x₂）²=16．即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16．
∵x₁+x₂=-(b)/(a)，x₁x₂=(c)/(a)，
∴(b2)/(a2)+(20)/(a)=16②．
将方程①与方程②联立，解得：a=-1，b=6．
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．
（2）如图1所示：记AM与x轴的交点坐标为D．

∵y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴点M的坐标为（3，4）．
设直线AM的解析式为y=kx+b．
∵将A（0，-5）、M（3，4）代入得

b=-5

3k+b=4

，解得：k=3，b=-5，
∴直线AM的解析式为y=3x-5．
∵令y=0得：3x-5=0．解得：x=(5)/(3)，
∴D（(5)/(3)，0）．
∵令抛物线的y=0得：-x²+6x-5=0，解得x₁=1，x₂=5，
∴C（5，0）．
∴S_△ACM=S_△CDA+S_△CDM=(1)/(2)×（5-(5)/(3)）×（4+5）=15．
（3）①当∠PCA=90°时，如图2所示：过点C作CP⊥AC，交抛物线与点P．

设AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A、C的坐标代入得：

b=-5

5k+b=0

，解得：k=1，b=-5，
∴直线AC的解析式为y=x-5．
设PC的解析式为y=k₁x+b1．
∵PC⊥AC，
∴k₁=-1．
∴直线PC的解析式为y=-x+b₁．
∵将C（5，0）代入得：-5+b=0，解得；b=5，
∴PC的解析式为y=-x+5．
∵将y=-x+5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x+5，整理得：x²-7x+10=0，解得；x₁=2，x₂=5（舍去）．
∴点P的坐标为（2，3）
②当∠PAC=90°时，如图3所示：

∵AP⊥AC，A（0，-5）
∴AP的解析式为y=-x-5．
将y=-x-5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x-5，整理得：x²-7x=0，解得；x₁=7，x₂=0（舍去）．
∴点P的坐标为（7，-12）．
综上所述点P的坐标为（2，3）或（7，12）．