如图1所示，以△ABC的边AB、AC为斜边向外分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边的中点，连接DF、EF．（1）若AB=AC，试说明DF=EF；（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF⊥EF；

Question

如图1所示，以△ABC的边AB、AC为斜边向外分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边的中点，连接DF、EF．
（1）若AB=AC，试说明DF=EF；
（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF⊥EF；
（3）若∠BAC为钝角，如图3所示，则DF与EF存在什么数量关系与位置关系？试说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图1，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接FM、FN，
∵F为BC边的中点，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=(1)/(2)AB，EN=(1)/(2)AC，
∴FN是△ABC的中位线．
∴FN=(1)/(2)AB，
∴DM=FN=(1)/(2)AB，EN=MF=(1)/(2)AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF与△ENF中，

DM=FN

∠DMF=∠FNE

MF=EN

，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF；

（2）如图2，连接AF，∵等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，
∴AD=BD，AE=CE，
∵∠BAC=90°，F为BC边的中点，
∴AF=BF，
∴DF垂直平分AB，
同理EF垂直平分AC，
∴∠AMF=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF；

（3）DF=EF，DF⊥EF，
如图3，分别取AB、AC中点M、N，连接MD、NE，再连接FM、FN，
∵F为BC边的中点，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=(1)/(2)AB，EN=(1)/(2)AC，
∴FN是△ABC的中位线．
∴FN=(1)/(2)AB，
∴DM=FN=(1)/(2)AB，EN=MF=(1)/(2)AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF与△ENF中，

DM=FN

∠DMF=∠FNE

MF=EN

，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF，∠MDF=∠NFE，
∵AM∥NF，
∴∠AMF+∠MFN=180°，
∵∠MDF+∠DMF+∠DFF=180°，
∴∠DFE=∠DMA，
∵∠DMA=90°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF．