某学校拟建一块周长为400米的操场（如图所示），操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域．（1）将矩形区域的长（y）表示成宽（x）的函数y=f（x）；（2）为

Question

某学校拟建一块周长为400米的操场（如图所示），操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域．
（1）将矩形区域的长（y）表示成宽（x）的函数y=f（x）；
（2）为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形区域的长和宽？

Answer 1

（1）设矩形的长为y，宽为x，则
由周长为400米，利用操场的周长等于圆的周长公式+矩形长的2倍，可得2π×(x)/(2)+2y＝400
化简得：y＝−(π)/(2)x+200，x∈(0，(400)/(π))
（2）做操区域的面积S_矩形=xy=−(π)/(2)x2+200x=−(π)/(2)(x−(200)/(π))2+(20000)/(π)，
∵x∈(0，(400)/(π))
∴当x＝(200)/(π)，y＝100时，矩形面积最大．
答：（1）函数y=f（x）为：y＝−(π)/(2)x+200，x∈(0，(400)/(π))；（2）当长为100米，宽为(200)/(π)米时，学生的做操区域最大．