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已知:在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.(1)求证:BF∥AC;(2)若AC边的中点为M,求证:DF=2EM;(3
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已知:在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.
(1)求证:BF∥AC;
(2)若AC边的中点为M,求证:DF=2EM;
(3)当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论.
(1)求证:BF∥AC;
(2)若AC边的中点为M,求证:DF=2EM;
(3)当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1.
∵点B关于直线CH的对称点为D,CH⊥AB于点H,直线DE交直线CH于点F,
∴BF=DF,DH=BH.
∴∠1=∠2.
又∵∠EDA=∠A,∠EDA=∠1,
∴∠A=∠2.
∴BF∥AC;
(2)如图2,取FD的中点N,连接HM、HN.
∵H是BD的中点,N是FD的中点,
∴HN∥BF.
由(1)得BF∥AC,
∴HN∥AC,即HN∥EM.
∵在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AC边的中点为M,
∴HM=
AC=AM,
∴∠A=∠3,
∴∠EDA=∠3,
∴NE∥HM,
∴四边形ENHM是平行四边形,
∴HN=EM,
∵在Rt△DFH中,∠DHF=90°,DF的中点为N,
∴HN=
DF,即DF=2HN,
∴DF=2EM;
(3)当AB=BC时,在未添加辅助线和其它字母的条件下,原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE.
证明:连接CD.(如图3)
∵点B关于直线CH的对称点为D,CH⊥AB于点H,
∴BC=CD,∠ABC=∠5.
∵AB=BC,
∴∠ABC=180°-2∠A,
AB=CD.①
∵∠EDA=∠A,
∴∠6=180°-2∠A,AE=DE.②
∴∠ABC=∠6=∠5.
∵∠BDE是△ADE的外角,
∴∠BDE=∠A+∠6.
∵∠BDE=∠4+∠5,
∴∠A=∠4.③
由①,②,③得△ABE≌△DCE.
∴BE=CE.
由(1)中BF=DF得∠CFE=∠BFC.
由(1)中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF.
∴∠CFE=∠ECF.
∴EF=CE.
∴BE=EF.
∴BE=EF=CE.
∵点B关于直线CH的对称点为D,CH⊥AB于点H,直线DE交直线CH于点F,
∴BF=DF,DH=BH.
∴∠1=∠2.
又∵∠EDA=∠A,∠EDA=∠1,
∴∠A=∠2.
∴BF∥AC;
(2)如图2,取FD的中点N,连接HM、HN.
∵H是BD的中点,N是FD的中点,
∴HN∥BF.
由(1)得BF∥AC,
∴HN∥AC,即HN∥EM.
∵在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AC边的中点为M,
∴HM=
1 |
2 |
∴∠A=∠3,
∴∠EDA=∠3,
∴NE∥HM,
∴四边形ENHM是平行四边形,
∴HN=EM,
∵在Rt△DFH中,∠DHF=90°,DF的中点为N,
∴HN=
1 |
2 |
∴DF=2EM;
(3)当AB=BC时,在未添加辅助线和其它字母的条件下,原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE.
证明:连接CD.(如图3)
∵点B关于直线CH的对称点为D,CH⊥AB于点H,
∴BC=CD,∠ABC=∠5.
∵AB=BC,
∴∠ABC=180°-2∠A,
AB=CD.①
∵∠EDA=∠A,
∴∠6=180°-2∠A,AE=DE.②
∴∠ABC=∠6=∠5.
∵∠BDE是△ADE的外角,
∴∠BDE=∠A+∠6.
∵∠BDE=∠4+∠5,
∴∠A=∠4.③
由①,②,③得△ABE≌△DCE.
∴BE=CE.
由(1)中BF=DF得∠CFE=∠BFC.
由(1)中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF.
∴∠CFE=∠ECF.
∴EF=CE.
∴BE=EF.
∴BE=EF=CE.
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