如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，BC=3CD．（1）求∠DCB的大小；（2）如图2，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF所在直线翻折，点B的对应点是点H，直线HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，BC=√(3)CD．
（1）求∠DCB的大小；
（2）如图2，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF所在直线翻折，点B的对应点是点H，直线HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，求BF的长；
（3）如图3，点E是△ACD内一点，且∠AEC=150°，联结DE，请判断线段DE、AE、CE能否构成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1中，

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD，
设CD=x，则AB=2x，BC=√(3)x，
∴AC=√(AB2-BC2)=√((2x)2-(√(3)x)2)=x，
∴AC=DC=(1)/(2)AB，
∴∠B=30°，
又CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30°．

（2）如图2中，连接BH．

△AHF与△ABF关于直线AF对称，又点B的对应点是点H，
∴AH=AB，HF=BF，
∵HF⊥AB，∠ABC=30°，
∴∠BFG=60°，
∴∠FBH=∠FHB=30°；
∴∠ABH=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴BG=(1)/(2)AB=1，
设GF=x，∴BF=2GF=2x，
∴x²+1²=（2x）²，
解得x=(√(3))/(3)
∴BF=(2√(3))/(3)．

（3）线段DE、AE、CE能构成直角三角形．
如图3中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，连接AP、PE，ED． 

∵PC=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE，∠PEC=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD；
∴∠ACD-∠ACE=∠PCE-∠ACE，
即∠DCE=∠ACP，
在△DCE和△ACP中，

AC=CD

∠ACP=∠ECD

CP=CE

，
∴△DCE≌△ACP，
∴DE=AP，
又∠AEC=150°，
∴∠AEP=150°-60°=90°，
∴线段DE、AE、CE能构成直角三角形．