在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．（1）连接AQ，当

Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．

（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴(BQ)/(AB)＝(AB)/(AO)．解得BQ＝(25)/(4)；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q((25)/(4)，3)或Q（4，3）．（4分）
（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴AP＝(1)/(2)BQ＝(5)/(2)，
∴AE＝AP＝(5)/(2)＝(1)/(2)AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则EF＝(3)/(2)，PH＝(3)/(2)，∴EF=PH．
又EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PQH
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）
（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴(AB)/(FA)＝(AO)/(FH)即(5)/(FA)＝(4)/(3)，
∴FA＝(15)/(4)．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴AC＝(5)/(4)．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=(1)/(4)；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG=2PQ．
即：CQ：QP=2：1
又∵BQ∥OP
∴CF：AF=CQ：QP=2：1
∴FC=2AF，
又∵FA=(15)/(4)，
∴FC=(15)/(2)，
∴AC＝(45)/(4)．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=(9)/(4)．（12分）