如图1，过△ABC顶点A作BC边上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定λA=DEBE．特别地，当D、E重合时，规定λA=0．另外对λB、λC也作类似规定．（1）①当△ABC中，AB=AC时，则λA=；②

Question

如图1，过△ABC顶点A作BC边上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定λ_A=(DE)/(BE)．特别地，当D、E重合时，规定λ_A=0．另外对λ_B、λ_C也作类似规定．

（1）①当△ABC中，AB=AC时，则λ_A=______；②当△ABC中，λ_A=λ_B=0时，则△ABC的形状是______；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=30°，求λ_A和λ_C的值；
（3）如图3，正方形网格中，格点△ABC的λ_A=______；
（4）判断下列三种说法的正误（正确的打“√”错误的打“×”）
①若△ABC中λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形______；
②若△ABC中λ_A=1，则△ABC为直角三角形______；
③若△ABC中λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形______；
（5）通过本题解答，同学们应该有这样的认识：一个无论多么陌生、多么综合的问题，其实都来自于书本已学的基础知识．因此，我们今后应重视基础知识的学习；同时在解决问题时或者解决问题后，应该思考该问题的本质和目的：①巩固哪些基础知识；②培养我们哪些方面能力；③向我们渗透哪些数学思想．本题之所以是一道综合题，就是因为涉及到的知识点多、面广．下面就请你谈谈本题中所用到的、已学过的性质、定理、公理或判定等．（至少列举两条）

Answer 1

（1）①如图：
∵AB=AC，
∴AD是BC的高，也是BC的中线，
即D与E重合，
∴λ_A=(DE)/(BE)=0；

②当△ABC中，λ_A=0时，
即DE=0，
∴AD是BC的高，也是BC的中线，
即AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵λ_B=0，
同理：BC=BA，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC的形状是等边三角形；

（2）如图，作BC边上的中线AD，过点C作CE⊥AB于E，作AB边上的中线CF，又AC⊥DC，
∴λ_A=(CD)/(BD)=1，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=(EF)/(AF)=(EF)/(CF)=cos60°=(1)/(2)；

（3）如图：λ_A=(DE)/(BE)=2；

（4）①×，②√，③√．

（5）用到的定理：①等腰三角形中三线合一；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等．
故答案为：（1）0，等边三角形；（3）2；（4）①×，②√，③√．